Разное

Асимптотический анализ

Асимптотический анализ показывает порядок роста алгоритма - как увеличивается время работы алгоритма при увеличении объема входных данных. По факту измеряем не время, а число операций, например - сравнения,присваивания,выделение памяти. Обычно измеряется наихудший случай выполнения, если не оговорено иное. Записывается, как O(n) (О нотация, О большое) . Примеры:

Константный — O(1)
Линейный — O(n)
Логарифмический — O( log n)
Линеарифметический — O(n·log n)
Квадратичный — O(n 2)
И другие

Бинарный поиск

Ищет элемент в отсортированном массиве:

Определение значения элемента в середине структуры данных. Полученное значение сравнивается с ключом.
Если ключ меньше значения середины, то поиск осуществляется в первой половине элементов, иначе — во второй.
Поиск сводится к тому, что вновь определяется значение серединного элемента в выбранной половине и сравнивается с ключом.
Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден элемент со значением ключа или не станет пустым интервал для поиска.

<?php

function binarySearch( array $arr, int $needle): ?int
{
    $min = 0;
    $max = count($arr) - 1;

    while ($min < $max) {
        
        $middleKey =  floor($min + ($max - $min) / 2);
        $middleVal = $arr[$middleKey];

        if ($needle < $middleVal) {
            $max = $middleKey - 1;
        } elseif ($needle > $middleVal) {
            $min = $middleKey + 1;
        } else {
            return $middleKey;
        }
    }

    return null;
}

$arr = [0,11,22,33,44,55,66,77,88,99];
print_r(binarySearch($arr, 44));

Рекурсия

Рекурсия – это когда функция вызывает сама себя(напрямую или через функцию посредника), как правило, с другими аргументами. Рекурсия помогает писать код более компактно и понятно, однако имеет оверхэд по памяти из-за необходимости хранить стек вызова. Для оптимизации можно переписать алгоритм используя циклы - любая рекурсия может быть переделана в цикл, как правило, вариант с циклом будет эффективнее. Также есть хвостовая рекурсия.

Хвостовая рекурсия — частный случай рекурсии, при котором любой рекурсивный вызов является последней операцией перед возвратом из функции. Подобный вид рекурсии примечателен тем, что может быть легко заменён на итерацию путём формальной и гарантированно корректной перестройки кода функции. Оптимизация хвостовой рекурсии путём преобразования её в плоскую итерацию реализована во многих оптимизирующих компиляторах. В некоторых функциональных языках программирования спецификация гарантирует обязательную оптимизацию хвостовой рекурсии.

Разделяй и властвуй

Разделяй и властвуй(divide and conquer) — важная парадигма разработки алгоритмов, заключающаяся в рекурсивном разбиении решаемой задачи на две или более подзадачи того же типа, но меньшего размера, и комбинировании их решений для получения ответа к исходной задаче; разбиения выполняются до тех пор, пока все подзадачи не окажутся элементарными.

Типичный пример — алгоритм сортировки слиянием. Чтобы отсортировать массив чисел по возрастанию, он разбивается на две равные части, каждая сортируется, затем отсортированные части сливаются в одну. Эта процедура применяется к каждой из частей до тех пор, пока сортируемая часть массива содержит хотя бы два элемента (чтобы можно было её разбить на две части).

Динамическое программирование

Динамическое программирование — способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой, выглядящим как набор перекрывающихся подзадач, сложность которых чуть меньше исходной. В этом случае время вычислений, по сравнению с «наивными» методами, можно значительно сократить.

Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

Метод динамического программирования сверху — это простое запоминание результатов решения тех подзадач, которые могут повторно встретиться в дальнейшем. Динамическое программирование снизу включает в себя переформулирование сложной задачи в виде рекурсивной последовательности более простых подзадач. The difference between dynamic programming and greedy algorithms is that with dynamic programming, there are overlapping subproblems, and those subproblems are solved using memoization. "Memoization" is the technique whereby solutions to subproblems are used to solve other subproblems more quickly.

The difference is that dynamic programming requires you to remember the answer for the smaller states, while a greedy algorithm is local in the sense that all the information needed is in the current state. Of course, there is some intersection.

Жадный алгоритм

Жадный алгоритм — алгоритм, заключающийся в принятии локально оптимальных решений на каждом этапе, допуская, что конечное решение также окажется оптимальным. В общем случае нельзя сказать, можно ли получить оптимальное решение с помощью жадного алгоритма применительно к конкретной задаче. Но есть две особенности, характерные для задач, которые решаются с помощью жадных алгоритмов: принцип жадного выбора и свойство оптимальности для подзадач.

Принцип жадного выбора

Говорят, что к задаче оптимизации применим принцип жадного выбора, если последовательность локально оптимальных выборов дает глобально оптимальное решение. В этом состоит главное отличие жадных алгоритмов от динамического программирования: во втором просчитываются сразу последствия всех вариантов.

Чтобы доказать, что жадный алгоритм дает оптимум, нужно попытаться провести доказательство, аналогичное доказательству алгоритма задачи о выборе заявок. Сначала мы показываем, что жадный выбор на первом шаге не закрывает путь к оптимальному решению: для любого решения есть другое, согласованное с жадным выбором и не хуже первого. Потом мы показываем, что подзадача, возникшая после жадного выбора на первом шаге, аналогична исходной. По индукции будет следовать, что такая последовательность жадных выборов дает оптимальное решение.

Оптимальность для подзадач

Это свойство говорит о том, что оптимальное решение всей задачи содержит в себе оптимальные решения подзадач.

Задача NP-полная (NP-complete problem)

Тип задач, принадлежащих классу NP (non-deterministic polynomial – «недетерминированные с полиномиальным временем»), для которых отсутствуют быстрые алгоритмы решения. Время работы алгоритмов решения таких задач существенно (обычно, экспоненциально) возрастает с увеличением объема входных данных.

Однако, если предоставить алгоритму некоторые дополнительные сведения, то временные затраты могут быть существенно снижены. При этом, если будет найден быстрый алгоритм для какой-либо из NP-полных задач, то для любой другой задачи из класса NP можно будет найти соответствующее решение.

В теории алгоритмов - задача с ответом «да» или «нет» из класса NP, к которой можно свести любую другую задачу из этого класса за полиномиальное время (то есть при помощи операций, число которых не превышает некоторого полинома в зависимости от размера исходных данных).

Таким образом, NP-полные задачи образуют в некотором смысле подмножество «типовых» задач в классе NP: если для какой-то из них найден «полиномиально быстрый» алгоритм решения, то и любая другая задача из класса NP может быть решена так же «быстро».

К классу NP-полных относятся задача о коммивояжере, о вершинном покрытии и покрытии множеств.

Backend interview